2-1 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ \frac{a_n}{n+1} = \int_0^\beta \sin^n x \cos x \, dx \] 를 만족시킨다. \(\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{6}\)일 때, \(\tan\beta\)의 값을 구하시오. \(\left(\text{단, } 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\right)\) (40점)

2-2 평균이 \(m\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이 모집단의 확률변수를 \(X\)라 할 때, 두 확률변수 \(X, \bar{X}\)가 다음 세 조건을 만족시킨다. 이때, \(m + \sigma + n\)의 값을 구하시오. (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772, P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)로 계산한다.) (30점)
(가) \(P(X \ge 8) + P(\bar{X} \ge 8) = 1\)
(나) \(P(X \ge 12) + P(\bar{X} \ge 7.5) = 1\)
(다) 표본평균의 값이 \(\bar{x}\)일 때, \(m\)에 대한 신뢰도 \(95.44\%\)의 신뢰구간이 \(\bar{x}-1 \le m \le \bar{x}+1\)이다.

2-3 평평한 면과 둥근 면이 나올 확률이 각각 \(p, 1-p\)인 윷짝 한 개를 \(2023\)번 던졌을 때, 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (단, \(0\)은 짝수이다.) (30점)